作者：vivo 互联网服务器团队-Tang Shutao
现如今推荐无处不在，例如抖音、淘宝、京东App均能见到推荐系统的身影，其背后涉及许多的技术。
本文以经典的协同过滤为切入点，重点介绍了被工业界广泛使用的矩阵分解算法，从理论与实践两个维度介绍了该算法的原理，通俗易懂，希望能够给大家带来一些启发。
笔者认为要彻底搞懂一篇论文，最好的方式就是动手复现它，复现的过程你会遇到各种各样的疑惑、理论细节。
一、 背景
1.1 引言
在信息爆炸的二十一世纪，人们很容易淹没在知识的海洋中，在该场景下搜索引擎可以帮助我们迅速找到我们想要查找的内容。
在电商场景，如今的社会物质极大丰富，商品琳琅满目，种类繁多。消费者很容易挑花眼，即用户将会面临信息过载的问题。
为了解决该问题，推荐引擎应运而生。例如我们打开淘宝App，JD app，B站视频app，每一个场景下都有推荐的模块。
那么此时有一个幼儿园小朋友突然问你，为什么JD给你推荐这本《程序员颈椎康复指南》？你可能会回答，因为我的职业是程序员。
接着小朋友又问，为什么《Spark大数据分析》这本书排在第6个推荐位，而《Scala编程》排在第2位？这时你可能无法回答这个问题。
为了回答该问题，我们设想下面的场景：
在JD的电商系统中，存在着用户和商品两种角色，并且我们假设用户都会对自己购买的商品打一个0-5之间的分数，分数越高代表越喜欢该商品。
基于此假设，我们将上面的问题转化为用户对《程序员颈椎康复指南》，《Spark大数据分析》，《Scala编程》这三本书打分的话，用户会打多少分（用户之前未购买过这3本书）。因此物品在页面的先后顺序就等价于预测用户对这些物品的评分，并且根据这些评分进行排序的问题。
为了便于预测用户对物品的评分问题，我们将所有三元组(User, Item, Rating)，即用户User给自己购买的商品Item的评分为Rating，组织为如下的矩阵形式：
其中，表格包含 m 个用户和n个物品，将表格定义为评分矩阵 ，其中的元素 表示第u个用户对第i个物品的评分。
例如，在上面的表格中，用户user-1购买了物品 item-1， item-3， item-4，并且分别给出了4，2，5的评分。最终，我们将原问题转化为预测白色空格处的数值。
1.2 协同过滤
协同过滤，简单来说是利用与用户兴趣相投、拥有共同经验之群体的喜好来推荐给用户感兴趣的物品。兴趣相投使用数学语言来表达就是相似度 (人与人，物与物)。因此，根据相似度的对象，协同过滤可以分为基于用户的协同过滤和基于物品的协同过滤。
以评分矩阵为例，以行方向观测评分矩阵，每一行代表每个用户的向量表示，例如用户user-1的向量为 [4, 0, 2, 5, 0, 0]。以列方向观测评分矩阵，每一列表示每个物品的向量表示，例如物品item-1的向量为[4, 3, 0, 0, 5]。
基于向量表示，相似度的计算有多种公式，例如余弦相似度，欧氏距离，皮尔森。这里我们以余弦相似度为例，它是我们中学学过的向量夹角 (中学只涉及2维和3维) 的高维推广，余弦相似度公式很容易理解和使用。给定两个向量 和 ，其夹角定义如下：
例如，我们计算user-3和user-4的余弦相似度，二者对应的向量分别为 [0, 2, 0, 3, 0, 4]，[0, 3, 3, 5, 4, 0]
向量夹角的余弦值越接近1代表两个物品方向越接近平行，也就是越相似，反之越接近-1代表两个物品方向越接近反向，表示两个物品相似度接近相反，接近0，表示向量接近垂直/正交，两个物品几乎无关联。显然，这和人的直觉完全一致。
例如，我们在视频App中经常能看到“相关推荐”模块，其背后用到的原理之一就是相似度计算，下图展示了一个具体的例子。
我们用《血族第一部》在向量库 (存储向量的数据库，该系统能够根据输入向量，用相似度公式在库中进行检索，找出TopN的候选向量) 里面进行相似度检索，找到了前7部高相似度的影片，值得注意的是第一部是自己本身，相似度为1.0，其他三部是《血族》的其他3部同系列作品。
1.2.1 基于用户的协同过滤 (UserCF)
基于用户的协同过滤分为两步
-
找出用户相似度TopN的若干用户。
-
根据TopN用户评分的物品，形成候选物品集合，利用加权平均预估用户u对每个候选物品的评分。
例如，由用户u的相似用户{u1, u3, u5, u9}可得候选物品为
我们现在预测用户u对物品i1的评分，由于物品在两个用户{u1, u5}的购买记录里，因此用户u对物品i1的预测评分为：
其中 表示用户 u与用户 的相似度。
在推荐时，根据用户u对所有候选物品的预测分进行排序，取TopM的候选物品推荐给用户u即可。
1.2.2 基于物品的协同过滤 (ItemCF)
基于物品的协同过滤分为两步
-
在用户u购买的物品集合中，选取与每一个物品TopN相似的物品。
-
TopN相似物品形成候选物品集合，利用加权平均预估用户u对每个候选物品的评分。
例如，我们预测用户u对物品i3的评分，由于物品i3与物品{i6, i1, i9}均相似，因此用户u对物品i3的预测评分为：
其中 表示物品 与物品 的相似度，其他符号同理。
1.2.3 UserCF与ItemCF的比较
我们对ItemCF和UserCF做如下总结：
UserCF主要用于给用户推荐那些与之有共同兴趣爱好的用户喜欢的物品，其推荐结果着重于反映和用户兴趣相似的小群体的热点，更社会化一些，反映了用户所在的小型兴趣群体中物品的热门程度。在实际应用中，UserCF通常被应用于用于新闻推荐。
ItemCF给用户推荐那些和他之前喜欢的物品类似的物品，即ItemCF的推荐结果着重于维系用户的历史兴趣，推荐更加个性化，反应用户自己的兴趣。在实际应用中，图书、电影平台使用ItemCF，比如豆瓣、亚马逊、Netflix等。
除了基于用户和基于物品的协同过滤，还有一类基于模型的协同过滤算法，如上图所示。此外基于用户和基于物品的协同过滤又可以归类为基于邻域 (K-Nearest Neighbor, KNN) 的算法，本质都是在找”TopN邻居”，然后利用邻居和相似度进行预测。
二、矩阵分解
经典的协同过滤算法本身存在一些缺点，其中最明显的就是稀疏性问题。我们知道评分矩阵是一个大型稀疏矩阵，导致在计算相似度时，两个向量的点积等于0 (以余弦相似度为例)。为了更直观的理解这一点，我们举例如下：
rom sklearn.metrics.pairwise import cosine_similaritya = [[],[],[],[]]cosine_similarity(a)
我们从评分矩阵中抽取item1 – item4的向量，并且利用余弦相似度计算它们之间的相似度。
通过相似度矩阵，我们可以看到物品item-1, item-2, item-3的之间的相似度均为0，而且与item-1, item-2, item-3最相似的物品都是item-4，因此在以ItemCF为基础的推荐场景中item-4将会被推荐给用户。
但是，物品item-4与物品item-1, item-2, item-3最相似的原因是item-4是一件热门商品，购买的用户多，而物品item-1, item-2, item-3的相似度均为0的原因仅仅是它们的特征向量非常稀疏，缺乏相似度计算的直接数据。
综上，我们可以看到经典的基于用户/物品的协同过滤算法有天然的缺陷，无法处理稀疏场景。为了解决该问题，矩阵分解被提出。
2.1 显示反馈
我们将用户对物品的评分行为定义为显示反馈。基于显示反馈的矩阵分解是将评分矩阵Rm×n 用两个矩阵 和Yn×k的乘积近似表示，其数学表示如下：
其中， 表示隐性因子，以用户侧来理解， 表示的就是用户的年龄和性别两个属性。此外有个很好的比喻就是物理学的三棱镜，白光在三棱镜的作用下被分解为7种颜色的光，在矩阵分解算法中，分解的作用就类似于”三棱镜”，如下图所示，因此，矩阵分解也被称为隐语义模型。矩阵分解将系统的自由度从 降到了，从而实现了降维的目的。
为了求解矩阵